Die Modalanalyse mit FEM für bessere 3D-Konstruktionen

Die Modalanalyse mit der Finiten-Elemente-Methode (FEM) hat sich in den letzten Jahrzehnten zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der Ingenieurpraxis entwickelt. Als computergestütztes Verfahren ermöglicht sie die detaillierte Untersuchung des Schwingungsverhaltens komplexer Strukturen, ohne dass aufwändige physische Prototypen erforderlich sind. Besonders in Zeiten steigender Anforderungen an Leichtbau und Effizienz gewinnt die Fähigkeit, das dynamische Verhalten von Bauteilen präzise vorherzusagen, zunehmend an Bedeutung.

Die Grundidee der Modalanalyse mit FEM besteht darin, die natürlichen Eigenschwingungen – auch Eigenfrequenzen und Eigenformen genannt – einer Struktur zu ermitteln. Diese Informationen sind entscheidend, um potenzielle Resonanzprobleme zu identifizieren, bei denen externe Anregungen mit den Eigenfrequenzen übereinstimmen und zu gefährlich hohen Schwingungsamplituden führen können. Durch die Integration der FEM wird es möglich, auch geometrisch komplexe Bauteile zu analysieren, die mit analytischen Methoden nicht oder nur sehr schwer berechenbar wären.

Im industriellen Umfeld ist die Modalanalyse mit FEM mittlerweile Standard in vielen Branchen – vom Automobilbau über den Maschinenbau bis hin zur Luft- und Raumfahrt. Sie hilft dabei, Produkte robuster, leichter und langlebiger zu gestalten. Ein typisches Anwendungsbeispiel ist die Optimierung von Motorkomponenten, um störende Vibrationen zu minimieren oder die Auslegung von Brücken, um Schwingungsanfälligkeit bei Wind oder Verkehrsbelastung zu reduzieren.

Der Einsatz der FEM-basierten Modalanalyse ermöglicht zudem eine signifikante Kostenreduktion im Entwicklungsprozess, da kritische Designprobleme bereits in frühen Phasen erkannt und behoben werden können, bevor teure Prototypen gefertigt werden. Dies verkürzt Entwicklungszyklen und führt zu innovativeren und zuverlässigeren Produkten. Durch die kontinuierliche Weiterentwicklung der Rechnerkapazitäten und Simulationssoftware werden heute immer genauere und umfassendere Analysen möglich, die vor wenigen Jahren noch undenkbar gewesen wären.

In diesem Artikel werden wir tief in die theoretischen Grundlagen, praktischen Anwendungen und Best Practices der Modalanalyse mit FEM eintauchen. Wir werden untersuchen, wie die Methode funktioniert, welche Faktoren die Genauigkeit beeinflussen und wie Ingenieure die Ergebnisse optimal für ihre Konstruktionsarbeit nutzen können.

Die Modalanalyse ist ein fundamentales Verfahren in der Strukturmechanik, das sich mit dem Schwingungsverhalten von Bauteilen und Strukturen befasst. Im Kern geht es darum, die natürlichen Schwingungseigenschaften eines Objekts während der freien Schwingung zu bestimmen. Diese Eigenschaften umfassen die Eigenfrequenzen, Dämpfungsraten und Eigenschwingungsformen, die zusammen das dynamische Verhalten einer Struktur charakterisieren.

Eigenfrequenzen sind jene spezifischen Frequenzen, bei denen ein Bauteil besonders leicht zum Schwingen angeregt werden kann. Jede Eigenfrequenz ist mit einer bestimmten Eigenschwingungsform (oder Modalform) verbunden, die das räumliche Muster der Schwingungsbewegung beschreibt. Diese Modalformen sind einzigartig für jede Struktur und hängen von Faktoren wie Geometrie, Materialverteilung und Randbedingungen ab.

Die Bedeutung der Modalanalyse in der Ingenieurpraxis kann kaum überschätzt werden. Sie liefert essentielle Informationen für:

• Die Vermeidung von Resonanzkatastrophen: Wenn eine externe Anregungsfrequenz mit einer Eigenfrequenz zusammenfällt, können die resultierenden Schwingungsamplituden exponentiell anwachsen und zur Zerstörung der Struktur führen. Ein klassisches Beispiel ist der Einsturz der Tacoma-Narrows-Brücke im Jahr 1940, der durch windinduzierte Resonanz verursacht wurde.
• Die Optimierung des dynamischen Verhaltens: Durch gezielte Veränderungen an Geometrie oder Materialverteilung können Eigenfrequenzen verschoben werden, um Resonanzen mit betriebsbedingten Anregungen zu vermeiden.
• Die Schwingungsisolation: Mit Kenntnis der Eigenfrequenzen können Dämpfungssysteme optimal ausgelegt werden, um unerwünschte Schwingungsübertragungen zu minimieren.
• Die Schadensdiagnose: Veränderungen in den modalen Eigenschaften können auf strukturelle Schäden hinweisen und werden daher in modernen Strukturüberwachungssystemen eingesetzt.

In der Praxis unterscheidet man zwischen experimenteller und numerischer Modalanalyse. Bei der experimentellen Variante werden physische Messungen an realen Bauteilen durchgeführt, indem diese angeregt und die resultierenden Schwingungen mit Sensoren erfasst werden. Die numerische Modalanalyse hingegen nutzt mathematische Modelle – häufig basierend auf der Finite-Elemente-Methode – um das Schwingungsverhalten zu simulieren.

Ein besonders wertvoller Aspekt der Modalanalyse liegt in der Möglichkeit, komplexe dynamische Probleme in eine Reihe entkoppelter, einfacherer Probleme zu zerlegen. Dies basiert auf dem Prinzip der modalen Superposition, das besagt, dass jede beliebige Schwingungsform als Linearkombination der Eigenschwingungsformen dargestellt werden kann. Diese Eigenschaft macht die Modalanalyse zu einem äußerst leistungsfähigen Werkzeug für die Analyse und Lösung dynamischer Probleme in der Ingenieurpraxis.

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) hat sich als einer der mächtigsten numerischen Ansätze zur Lösung komplexer physikalischer Probleme in der Ingenieurswissenschaft etabliert. Bei dieser Methode wird ein kontinuierliches Bauteil in eine endliche Anzahl einfacher geometrischer Elemente zerlegt, die miteinander an sogenannten Knoten verbunden sind. Dieses Vorgehen transformiert ein komplexes kontinuierliches Problem in ein diskretes System mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden, das mit Computern effizient gelöst werden kann.

Die grundlegende Stärke der FEM liegt in ihrer Fähigkeit, Strukturen mit beliebig komplexen Geometrien analysieren zu können, was mit analytischen Methoden oft unmöglich wäre. Die Methode wurde ursprünglich in den 1950er Jahren für strukturmechanische Probleme entwickelt, hat sich aber seither auf zahlreiche andere Bereiche wie Wärmeübertragung, Strömungsmechanik, Elektromagnetismus und multiphysikalische Anwendungen ausgeweitet.

Für die Anwendung der FEM in der Modalanalyse ist das zugrundeliegende mathematische Modell von zentraler Bedeutung. Bei linearen elastischen Materialien kann die verallgemeinerte Bewegungsgleichung wie folgt dargestellt werden:

MÜ + CÙ + KU = F

Hierbei repräsentiert M die Massenmatrix, C die Dämpfungsmatrix, K die Steifigkeitsmatrix, U den Verschiebungsvektor mit seinen zeitlichen Ableitungen und F den Vektor der externen Kräfte. Bei der reinen Modalanalyse werden typischerweise Dämpfung und externe Kräfte vernachlässigt, wodurch sich die Gleichung vereinfacht zu:

MÜ + KU = 0

Unter der Annahme harmonischer Bewegungen (U = u·sin(ωt)) führt dies zu einem verallgemeinerten Eigenwertproblem:

(K – ω²M)u = 0

Diese Gleichung bildet die mathematische Grundlage der FEM-basierten Modalanalyse. Die Lösung dieses Eigenwertproblems liefert die Eigenfrequenzen (ω) und die zugehörigen Eigenvektoren (u), die die Eigenschwingungsformen darstellen.

Die praktische Implementierung der FEM in der Modalanalyse umfasst typischerweise folgende Schritte:

1. Geometriemodellierung: Erstellung eines digitalen Modells der zu analysierenden Struktur
2. Diskretisierung: Zerlegung des Modells in finite Elemente (Netzgenerierung)
3. Definition der Materialeigenschaften und Randbedingungen
4. Assemblierung der globalen Massen- und Steifigkeitsmatrizen
5. Lösung des Eigenwertproblems zur Bestimmung der Eigenfrequenzen und Eigenformen
6. Nachbearbeitung und Interpretation der Ergebnisse

Die Zuverlässigkeit der FEM-Ergebnisse hängt stark von der Qualität der Diskretisierung ab. Ein zu grobes Netz kann zu ungenauen Ergebnissen führen, während ein übermäßig feines Netz den Rechenaufwand unnötig erhöht. Daher ist die Netzoptimierung ein kritischer Aspekt bei der Anwendung der FEM.

Trotz ihrer enormen Leistungsfähigkeit ist die FEM keine fehlerfreie Methode. Sie basiert auf Näherungen und Vereinfachungen, die zu Abweichungen von der Realität führen können. Deshalb ist es in der Praxis oft ratsam, FEM-Ergebnisse durch experimentelle Messungen zu validieren oder mit analytischen Lösungen für einfache Testfälle zu vergleichen. Diese kombinierte Herangehensweise maximiert die Zuverlässigkeit der Modalanalyse in ingenieurstechnischen Anwendungen.

Die Diskretisierung, also die Zerlegung einer kontinuierlichen Struktur in finite Elemente, ist ein entscheidender Schritt in der FEM-basierten Modalanalyse. Die Wahl der geeigneten Elementtypen und die Qualität des erzeugten Netzes haben direkten Einfluss auf die Genauigkeit der berechneten Eigenfrequenzen und Eigenformen.

Für die Modalanalyse gelten folgende Best Practices bei der Diskretisierung:

1. Einheitliche Elementgröße: Ein gleichmäßiges Netz mit Elementen ähnlicher Größe führt zu konsistenteren Ergebnissen. Abrupte Änderungen der Elementgröße sollten vermieden werden.
2. Elementqualität: Die Qualität der Elemente, gemessen an Kriterien wie Seitenverhältnis, Winkelverzerrung oder Jacobi-Determinante, sollte überwacht werden. Verzerrte Elemente können die Genauigkeit erheblich beeinträchtigen.
3. Netzverfeinerung in kritischen Bereichen: Bereiche mit erwarteten hohen Verformungsgradienten oder geometrischen Diskontinuitäten sollten feiner vernetzt werden.
4. Ausreichende Netzdichte für höhere Moden: Um höhere Schwingungsmoden korrekt zu erfassen, ist eine feinere Diskretisierung erforderlich als für die Grundmoden. Als Faustregel gilt, dass mindestens 6-10 Elemente pro Wellenlänge der höchsten interessierenden Mode verwendet werden sollten.
5. Konvergenzstudie: Eine systematische Analyse, bei der die Netzdichte schrittweise erhöht wird, bis sich die Eigenfrequenzen stabilisieren, ist oft unerlässlich, um die Zuverlässigkeit der Ergebnisse zu gewährleisten.

Die optimale Diskretisierungsstrategie hängt stark vom spezifischen Problem ab. Für sehr dünne Strukturen sind Schalenelemente oft effizienter, während komplexe dreidimensionale Bauteile möglicherweise eine Kombination verschiedener Elementtypen erfordern. Die Kunst der FEM liegt darin, einen angemessenen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Recheneffizienz zu finden, der den Anforderungen der jeweiligen Anwendung gerecht wird.

Der Übergang vom physischen Bauteil zu einem aussagekräftigen FEM-Modell für die Modalanalyse erfordert einen strukturierten Prozess, der mehrere kritische Schritte umfasst. Diese methodische Vorgehensweise stellt sicher, dass das virtuelle Modell das reale dynamische Verhalten hinreichend genau abbildet.

Der Prozess beginnt mit der Erstellung eines geeigneten Geometriemodells. In vielen Fällen liegt bereits ein CAD-Modell vor, das jedoch für FEM-Zwecke häufig vereinfacht werden muss. Kleine Features wie Fasen, Rundungen oder Bohrungen, die keinen wesentlichen Einfluss auf das globale Schwingungsverhalten haben, können entfernt werden, um die Netzgenerierung zu erleichtern und die Rechenzeit zu reduzieren. Diese Vereinfachungen sollten jedoch mit Bedacht vorgenommen werden, da sie die Massenverteilung und Steifigkeit beeinflussen können.

Die Materialmodellierung ist ein weiterer entscheidender Aspekt. Für die meisten Modalanalysen genügt ein linear-elastisches Materialmodell, charakterisiert durch Elastizitätsmodul, Dichte und Querkontraktionszahl. Bei isotropen Materialien wie Stahl oder Aluminium ist dies unkompliziert, während anisotrope Materialien wie faserverstärkte Kunststoffe komplexere Modelle erfordern. Die genaue Kenntnis der Materialdichten ist besonders wichtig, da sie direkt die berechneten Eigenfrequenzen beeinflusst.

Die Definition der Randbedingungen erfordert besondere Aufmerksamkeit, da sie die modalen Eigenschaften maßgeblich bestimmen. In der Praxis werden häufig zwei grundlegende Ansätze verfolgt:

• Freie Randbedingungen: Das Bauteil wird ohne jegliche Einspannungen modelliert, was zu sechs Starrkörpermoden (drei Translationen, drei Rotationen) mit theoretischen Eigenfrequenzen von null führt. Dieser Ansatz eignet sich gut für den Vergleich mit experimentellen Modalanalysen, bei denen das Bauteil an elastischen Seilen aufgehängt wird.
• Eingespannte Randbedingungen: Hier werden bestimmte Flächen oder Knoten fixiert, um die Einbausituation zu simulieren. Die korrekte Modellierung dieser Einspannungen ist oft herausfordernd, da reale Verbindungen selten ideal steif oder ideal gelenkig sind. Häufig werden vereinfachte Ansätze wie Federelemente verwendet, um eine realitätsnahe Anbindungssteifigkeit zu erreichen.

Bei Baugruppen mit mehreren Komponenten spielt die Modellierung der Verbindungen zwischen den Teilen eine zentrale Rolle. Verschraubungen, Schweißnähte oder Klebverbindungen können auf verschiedene Weise modelliert werden, von einfachen starren Verbindungen bis hin zu detaillierten Kontaktformulierungen mit nichtlinearen Eigenschaften. Die Wahl des geeigneten Verbindungsmodells hängt von der erforderlichen Genauigkeit und den verfügbaren Rechenressourcen ab.

Ein oft unterschätzter Aspekt ist der Einfluss von Nicht-Strukturkomponenten wie Kabelsträngen, Dichtungen oder angebrachten Massen. Diese können das dynamische Verhalten erheblich beeinflussen und sollten je nach Relevanz in das Modell integriert werden, typischerweise als konzentrierte Massen oder vereinfachte strukturelle Elemente.

Nach der Netzgenerierung und vor der eigentlichen Berechnung ist eine Qualitätskontrolle unerlässlich. Diese umfasst die Überprüfung der Elementqualität, die Sicherstellung der korrekten Anwendung von Randbedingungen und die Verifikation der Gesamtmasse und des Massenschwerpunkts. Abweichungen von mehr als 1-2% gegenüber den bekannten physikalischen Eigenschaften deuten auf Modellierungsfehler hin.

Ein bewährter Ansatz zur Validierung des FEM-Modells ist der Vergleich der berechneten Eigenfrequenzen und Eigenformen mit experimentellen Messdaten. Bei Abweichungen kann eine Modellkalibrierung erforderlich sein, bei der Parameter wie Materialsteifigkeiten oder Verbindungseigenschaften angepasst werden, um eine bessere Übereinstimmung zu erzielen. Diese iterative Vorgehensweise führt zu einem robusten Modell, das für weitere dynamische Analysen oder Designoptimierungen verwendet werden kann.

Die erfolgreiche Durchführung einer FEM-Modalanalyse mündet in einer Fülle von Daten, deren korrekte Interpretation entscheidend für die Ableitung sinnvoller technischer Schlussfolgerungen ist. Die Hauptergebnisse – Eigenfrequenzen und zugehörige Schwingungsformen – müssen systematisch analysiert und im Kontext der spezifischen Anwendung bewertet werden.

Bei der Interpretation der Eigenfrequenzen sind mehrere Aspekte zu beachten:

• Starrkörpermoden: Bei Strukturen ohne feste Einspannungen (freie Randbedingungen) sollten die ersten sechs Eigenfrequenzen theoretisch null sein, da sie Starrkörperbewegungen repräsentieren – drei Translationen und drei Rotationen. In der Praxis liegen diese Werte aufgrund numerischer Ungenauigkeiten nahe bei, aber nicht exakt bei null. Signifikante Abweichungen von null können auf unbeabsichtigte Einschränkungen im Modell hindeuten.
• Frequenzabstände: Der relative Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Eigenfrequenzen ist oft aufschlussreich. Eng beieinander liegende Frequenzen können auf symmetrische Strukturen hinweisen oder auf potenzielle Kopplungseffekte, die bei der Auslegung berücksichtigt werden sollten.
• Frequenzbereiche: Im ingenieurstechnischen Kontext werden Eigenfrequenzen oft in Bezug auf relevante Anregungsfrequenzen bewertet. Eigenfrequenzen innerhalb der Betriebsfrequenzbereiche von Maschinen oder Motoren erfordern besondere Aufmerksamkeit, da sie zu Resonanzproblemen führen können.
• Frequenzdichte: Eine hohe Dichte von Eigenfrequenzen in einem bestimmten Bereich kann auf flexible Strukturbereiche oder auf die Anwesenheit von lokalen Schwingungsmoden hindeuten, die oft mit dünnwandigen Elementen oder Anbauteilen verbunden sind.

Die visuelle Analyse der Schwingungsformen (Eigenvektoren) liefert wertvolle Einblicke in das dynamische Verhalten:

• Globale vs. lokale Moden: Schwingungsformen können entweder die gesamte Struktur betreffen (globale Moden) oder hauptsächlich auf bestimmte Bereiche beschränkt sein (lokale Moden). Lokale Moden mit hohen Amplituden in kritischen Bereichen verdienen besondere Beachtung.
• Knotenlinien und -punkte: Dies sind Bereiche mit minimaler oder keiner Bewegung während einer Schwingung. Die Identifikation von Knotenlinien kann für die Positionierung von Anbauteilen oder Sensoren relevant sein.
• Phasenbeziehungen: Die relative Phase der Bewegung verschiedener Strukturbereiche kann wichtige Informationen über das Schwingungsverhalten liefern. In-Phase- oder Gegenphasen-Bewegungen können unterschiedliche Auswirkungen auf die Strukturbelastung haben.
• Amplitudenverteilung: Die Bereiche mit maximalen Schwingungsamplituden sind potenzielle Schwachstellen bei Resonanzanregung und sollten bei der Konstruktionsoptimierung berücksichtigt werden.

Für eine aussagekräftige Bewertung sollten die numerischen Ergebnisse in verschiedenen Formaten dargestellt werden:

• Animierte Visualisierungen: Dynamische Darstellungen der Schwingungsformen erleichtern das intuitive Verständnis des Strukturverhaltens. Die Animation sollte in einer angemessenen Skalierung erfolgen, um auch kleine Bewegungen erkennbar zu machen.
• Konturplots: Farbcodierte Darstellungen der Verschiebungsamplituden oder von abgeleiteten Größen wie Spannungen helfen, kritische Bereiche zu identifizieren.
• Vektorfelder: Diese visualisieren Richtung und Größe der Bewegung und sind besonders hilfreich, um komplexe dreidimensionale Schwingungsmuster zu verstehen.
• Frequenzdiagramme: Grafische Darstellungen der Eigenfrequenzen und ihrer Verteilung erleichtern die Identifikation von Frequenzclustern oder -lücken.

Bei der Bewertung der Ergebnisse sollte auch die physikalische Plausibilität geprüft werden:

• Entsprechen die niedrigsten Eigenfrequenzen den erwarteten Grundschwingungsformen der Struktur?
• Sind die Schwingungsamplituden in steifen Bereichen geringer als in flexiblen?
• Stimmen die Ergebnisse qualitativ mit Erfahrungswerten oder vereinfachten analytischen Modellen überein?

Letztendlich müssen die FEM-Ergebnisse in den Kontext der spezifischen Anwendung gestellt werden. Die Relevanz bestimmter Eigenfrequenzen und Schwingungsformen hängt stark vom Einsatzbereich der Struktur und den zu erwartenden Betriebsbedingungen ab. Eine enge Zusammenarbeit zwischen FEM-Analysten und Anwendungsingenieuren ist daher entscheidend für eine erfolgreiche Umsetzung der Erkenntnisse aus der Modalanalyse in robuste und zuverlässige Produktdesigns.

Die Modalanalyse mit FEM hat sich in zahlreichen Industriezweigen als unverzichtbares Werkzeug etabliert. Ihre vielseitigen Einsatzmöglichkeiten erstrecken sich über verschiedene Branchen und Anwendungsgebiete, wo sie zur Lösung komplexer dynamischer Probleme beiträgt und die Produktentwicklung maßgeblich unterstützt.

In der Automobilindustrie ist die Modalanalyse ein Standardverfahren zur Optimierung des NVH-Verhaltens (Noise, Vibration, Harshness). Typische Anwendungen umfassen:

• Die Abstimmung der Karosseriesteifigkeit zur Vermeidung störender Resonanzen im hörbaren Frequenzbereich
• Die Analyse und Optimierung von Motoraufhängungen zur Minimierung der Schwingungsübertragung auf die Karosserie
• Die Untersuchung des akustischen Verhaltens von Innenräumen durch Kopplung von Strukturschwingungen und Luftschall
• Die Optimierung von Fahrwerkskomponenten hinsichtlich Schwingungskomfort und Fahrstabilität

Ein konkretes Beispiel ist die Entwicklung von Leichtbaustrukturen, bei denen die reduzierte Masse oft zu niedrigeren Eigenfrequenzen führt. Hier hilft die Modalanalyse, kritische Bereiche zu identifizieren und durch gezielte Verstärkungen oder Materialverteilung die dynamische Steifigkeit zu verbessern, ohne den Leichtbauansatz zu kompromittieren.

In der Luft- und Raumfahrt spielt die Modalanalyse eine besonders kritische Rolle, da Resonanzprobleme katastrophale Folgen haben können:

• Flatteranalysen für Flügel- und Leitwerksstrukturen zur Vermeidung aeroelastischer Instabilitäten
• Untersuchung der Kopplung zwischen Triebwerksschwingungen und Flugzeugstruktur
• Analyse der Schwingungsübertragung in Satellitenstrukturen, insbesondere während der Startphase
• Optimierung von Raumfahrtstrukturen für extreme Umgebungsbedingungen

Ein Beispiel aus der Raumfahrt ist die Entwicklung von Solarpanelen für Satelliten, die einerseits leicht und flexibel sein müssen, andererseits aber den enormen dynamischen Belastungen beim Start standhalten und im Betrieb präzise positioniert werden müssen. Hier ermöglicht die Modalanalyse die Vorhersage kritischer Schwingungsmoden und die Entwicklung geeigneter Dämpfungskonzepte.

Im Maschinenbau unterstützt die Modalanalyse die Entwicklung von Werkzeugmaschinen, Pumpen, Kompressoren und anderen rotierenden Maschinen:

• Vermeidung von Resonanzen mit Betriebsdrehzahlen oder deren Harmonischen
• Optimierung von Fundamenten und Aufstellungen zur Minimierung von Schwingungsübertragungen
• Analyse des Schwingungsverhaltens von Turbinenschaufeln unter verschiedenen Betriebsbedingungen
• Entwicklung schwingungsarmer Präzisionsmaschinen für die Mikrobearbeitung oder optische Industrie

Ein typisches Beispiel ist die Analyse von Turbomolekularpumpen, die mit extremen Drehzahlen von mehr als 30.000 U/min arbeiten. Hier ist es entscheidend, dass keine Strukturresonanzen im Betriebsbereich liegen, was durch sorgfältige FEM-Modalanalyse und anschließende Optimierung sichergestellt wird.

In der Bauindustrie werden Modalanalysen eingesetzt für:

• Die Auslegung von Brücken gegen Wind- und Verkehrsanregungen
• Die seismische Analyse von Hochhäusern und kritischen Infrastrukturen
• Die Untersuchung des Schwingungsverhaltens von Stadien und Tribünen bei rhythmischen Menschenmengen
• Die Optimierung von Fußgängerbrücken zur Vermeidung unangenehmer Schwingungen

Ein bekanntes Beispiel ist die Millennium Bridge in London, die nach ihrer Eröffnung im Jahr 2000 starke horizontale Schwingungen zeigte, wenn viele Menschen gleichzeitig die Brücke überquerten. Nach umfangreichen Modalanalysen wurden Dämpfer installiert, um das Problem zu beheben.